必要条件・十分条件(高校数学)の裏技

高校生の皆さん、たとえば「3<x<5 は x<7 であるための何条件か」(必要条件,十分条件,必要十分条件,必要条件でも十分条件でもない,から選ぶ)という問題、どのように解いてますか?

ふつうは、「右向きの矢印は成り立つけど左向きは成り立たないから十分条件!」って考えますよね。

じつは、他にも解きやすい考え方があるんです。

それを教える前に、次の問題を考えてみてください。
「動物であることは、犬であるための何条件か」
分かりますか?素直に考えてくださいね。

答は「必要条件」です。
動物であっても犬であるとは限らないけれど、動物でなければ犬ではない。つまり、動物であることは犬であるために必要な条件なんです。
逆に、犬であることは動物であるための十分条件です。犬というだけで、動物の条件は十分満たしてます。

これで何が言いたいかというと、必要条件や十分条件は、集合と絡めて考えることもできるということです。集合論で言えば、「犬」は「動物」に含まれます。そして、含まれる側(内側)は十分条件で、含む側(外側)は必要条件ということが言えます。あとは、内側と外側のどっちが主語かを考えれば、答が分かります。

これは、数直線上の包含関係にも当てはまります。最初の問題では、数直線上で 3<x<5 は x<7 に含まれますから、 3<x<5 が十分条件で x<7 が必要条件です。主語は 3<x<5 ですから、答は十分条件です。

この考え方は、例えば「以下の中から 1<x<3 の必要条件を選べ」というような問題でも威力を発揮します。
右向き矢印と左向き矢印のやり方しか知らない人だと、語群から一つ一つ取り出して 1<x<3 の左に書いて、どっち向きの矢印が成り立つか考えなければなりませんよね。
でも、このやり方なら、 1<x<3 の必要条件は 1<x<3 を内側に含むものを探せばいいわけです。

数直線上だけでなく、y座標も出てくる平面図形でも使えますよ。
「x^2+y^2<4 は x^2+y^2<1 の何条件か」(x^2はxの2乗のこと)という問題では、主語の x^2+y^2<4 が外側ですから答は必要条件です。

内側と外側のどっちが必要条件でどっちが十分条件かを忘れてしまったら、動物と犬の関係を思い出してください。

  • 2010/09/23登録
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